Wie bereits in dem vorherigen Kapitel gezeigt, kann man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man einen Vektor  $\vec{a}$  durch einen anderen Vektor  $\vec{b}$  und einem zu  $\vec{b}$  orthogonalen (senkrechten) Vektor  $\vec{x}$ darstellt.

Zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel bilden und ihr Skalarprodukt gleich null ist.

Zwei Vektoren $\vec{b}$ und $\vec{x}$ sind orthogonal, wenn:

Mit diesem Wissen können wir nun das Beispiel lösen:

(1) Die Gleichung  $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$  muss nach der unbekannten  $\vec{x}$  aufgelöst werden:

$\vec{x} =  \vec{a} - s \cdot \vec{b}$

(2) Diese Gleichung wird dann in die Gleichung $\vec{b} \cdot \vec{x} = 0$  eingesetzt:

$\vec{b} \cdot (\vec{a} - s \cdot \vec{b}) = 0$

(3) Auflösen nach $s$ ergibt:

$\vec{b} \cdot \vec{a} - s \cdot \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 $

$\vec{b} \cdot \vec{a} = s \cdot \vec{b} \cdot \vec{b}$

$ s = \frac{\vec{b} \, \cdot \, \vec{a}}{\vec{b} \, \cdot \, \vec{b}}$

(4)Billiger Pumps Billiger Pumps Billiger Bugatti Preis Pumps Bugatti Preis Bugatti Preis H29IED Einsetzen von $s$ in $\vec{x} = $  ergibt:

Die obige Gleichung entspricht der orthogonalen Zerlegung von $\vec{a}$ längs $\vec{b} \,$:

Die obige Grafik zeigt, dass der Vektor $\vec{a}$ durch den Vektor $\vec{b}$ und einem zu $\vec{b}$ senkrechten Vektor $\vec{x}$ dargestellt wird. Dabei muss der Vektor $\vec{b}$ mit der Zahl $s$ so mulitpliziert (skaliert) werden, dass sich dieser verkürzt. In diesem Fall liegt $s$ zwischen $0$ und $1$.

Anwendungsbeispiel: Zerlegung von Vektoren

Lösung der orthogonale Zerlegung:

 $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$

 $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}\right) = s \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)+ \vec{x}$

Bevor wir die obige Formel

$\vec{x} =  \vec{a} - \frac{\vec{b} \, \cdot \, \vec{a}}{\vec{b} \, \cdot \, \vec{b}} \cdot \vec{b}$

benutzen, berechnen wir die Skalarprodukte:

$\vec{b} \cdot \vec{a} = 3 \cdot 0 + 3 \cdot 4 = 12$

$\vec{b} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 18$

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Diese setzen wir anschließend in die Formel ein:

$\vec{x} =  (0,4) - \frac{12}{18} \cdot (3,3) = (0,4) - \frac{2}{3} \cdot (3,3) = (-2,2)$

Gegenrechnung

 $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$

 $\vec{a} = \frac{2}{3} \cdot (3,3) + (-2,2) = (0,4)$

Prüfung der Orthogonalität

$\vec{b} \cdot \vec{x} = 0$

$(3,3) \cdot (-2,2) = 3 \cdot -2 + 3 \cdot 2 = 0$